Как математика помогает заглянуть сквозь скалу и строить безопасные тоннели ( 4 фото )
Проходка тоннелей — одна из самых сложных и рискованных задач в строительстве. Горные породы таят множество сюрпризов: тектонические разломы с мелкораздробленной породой, водонасыщенные пласты и карстовые пустоты, способные спровоцировать внезапный прорыв воды, а также зоны трещиноватости, где кровля может обрушиться прямо во время работ.
Большинство этих угроз невозможно увидеть с поверхности, и стандартное геологическое картирование не всегда их выявляет. Поэтому в тоннелестроении уже давно используется сейсмическое опережающее зондирование: прямо из забоя производятся взрывы или удары, регистрируются отраженные волны, и на основе их анализа делаются выводы о структуре массива.
© ИИ-генерация Midjourney
Исследователи из МФТИ предложили для решения этой задачи использовать сеточно-характеристический метод. Его суть в том, что он явно использует характеристическую структуру гиперболических уравнений упругости: на каждом временном шаге задача расщепляется на одномерные уравнения переноса, которые решаются вдоль характеристических направлений. Это позволяет точно учитывать условия на границах раздела сред. Результаты работы были опубликованы в журнале Mathematical Models and Computer Simulations (исследование поддержано Российским научным фондом, грант №25-71-10027).
Геология строящегося тоннеля: пересечение с разломом. Слои породы смещены и раздроблены, образуя зону с иными механическими свойствами по сравнению с основным массивом / © Tambo, Wikimedia Commons
Для верификации метода ученые взяли за основу полевой эксперимент по сейсмической разведке, описанный в зарубежных работах. В ходе этого эксперимента проводилась серия из 24 взрывов с шагом 2 метра, начиная с отметки 50 метров вглубь строящегося тоннеля. Приемники регистрировали сейсмические возмущения, среди которых выделялись волны, отраженные от границы между гранитом и зоной разлома. На основе полученных данных удалось определить форму и положение разлома, который при последующей проходке действительно оказался вертикальным слоем.
Физтехи рассмотрели три различных сценария, чтобы детально изучить влияние разных факторов на распространение волн.
В первом случае перед забоем не было никаких геологических неоднородностей — только однородный гранит с продольной скоростью сейсмических волн 4000 м/с и поперечной — 2309 м/с.
Второй сценарий предполагал наличие тектонического разлома — вертикального слоя с продольной скоростью 3500 м/с и поперечной 2021 м/с, что заметно хуже, чем у гранита.
Третий сценарий моделировал водонасыщенный слой с продольной скоростью всего 1500 м/с и поперечной — 50 м/с, что почти соответствует чистой воде с минимальной сдвиговой жесткостью.
Принцип сейсмической разведки вблизи тоннеля. При сейсмическом зондировании источник генерирует механические волны, которые распространяются в горной породе. При встрече с геологической неоднородностью часть энергии отражается и возвращается к приемникам / © JOUAV
В сценарии без неоднородностей волновое поле оставалось симметричным и плавным.
При наличии разлома на волновом поле появились характерные искажения в нижней части, соответствующие волнам, отраженным от его границы.
В случае с водонасыщенным слоем вклад отраженных волн оказался значительно более выраженным, что вполне ожидаемо.
Особый интерес представляют карты вероятности. Авторы вычли из волновых полей сценариев с неоднородностями базовое поле без особенностей, выделив таким образом волны, отраженные именно от исследуемых объектов. На основе этих «разностных» волновых полей были построены карты вероятности расположения границы раздела в каждой точке пространства — метод, основанный на принципах обратного времени для сейсморазведки. Итоговые изображения достаточно точно воспроизвели фактические положения границ разлома и водонасыщенного слоя. Карты для продольных (P-волн) и поперечных (S-волн) волн взаимно дополняли друг друга, давая более полную картину.
Схема геологического разреза при сейсморазведке. При зондировании горного массива сейсмические волны пронизывают слои породы с разными акустическими свойствами. На границах слоев возникают отражения, по которым строится геологический разрез. Различие в скоростях волн между гранитом (4000 м/с), разломом (3500 м/с) и водонасыщенным слоем (1500 м/с) определяет интенсивность отражений / © Encyclopaedia Britannica
Методология сеточно-характеристического опережающего зондирования может применяться при строительстве метро в городах со сложной геологией, прокладке подводных тоннелей и горнодобывающих работах в условиях неоднородных пластов. Качественное совпадение численных волновых полей с реальными сейсмограммами — важный шаг к практическому внедрению метода. В перспективе программные реализации этого метода могут быть интегрированы в автоматизированные системы управления тоннелепроходческими машинами, предоставляя операторам актуальную геологическую картину в реальном времени.
Отдельного внимания заслуживает использование химерных наложенных сеток для моделирования геометрии тоннеля. Тоннель имеет цилиндрическую форму, и наложение на нее обычной прямоугольной сетки приводит к численным артефактам на цилиндрической границе. Химерные сетки решают эту проблему: внутри используется прямоугольная сетка, а кольцевая сетка на периферии точно следует форме цилиндра без искажений. В контактных узлах между двумя сетками значения пересчитываются через интерполяцию, что требует дополнительных вычислительных затрат, но позволяет точно воспроизводить поверхность тоннеля без потери точности на границе воздух-гранит.
Николай Игоревич Хохлов, ведущий научный сотрудник лаборатории прикладной вычислительной геофизики МФТИ, прокомментировал:
Сможет ли математическое моделирование когда-нибудь полностью заменить геологов-практиков на стройплощадке, или человеческий опыт всегда будет важнее?